IL problema di Monty Hall è un problema di teoria della probabilità, è anche noto come paradosso di Monty Hall a causa della sua natura controintuitiva, ma come vedremo più avanti il problema non presenta contraddizioni logiche ed ha una soluzione.

Il problema prende il nome dal conduttore televisivo statunitense  dello show “Let’s Make a Deal“.

Veniamo ora alla formulazione del problema (gioco):

Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad una si trova un’automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l’ha ancora aperta, il conduttore dello show, che conosce ciò che si trova dietro ogni porta, apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all’unica porta restante;

Ebbene, si dimostra che, la probabilità che il concorrente ha di vincere se non cambia scelta è pari ad 1/3, mentre se il concorrente cambia la sua scelta iniziale, la probabilità di vincere è pari a 2/3, dunque superiore a quella che avrebbe se confermasse la propria scelta.

Dimostrazione basata su considerazioni intuitive:

è palese che cambiando la propria scelta il concorrente vince solo se ha scelto la porta sbagliata al suo primo tentativo, quindi la probabilità di vincere cambiando la scelta iniziale coincide con la probabilità di aver scelto la porta sbagliata (con la capra) la prima volta. Ma la probabilità di sbagliare la scelta la prima volta è pari a 2/3, che, come abbiamo detto, coincide con la probabilità di vincere cambiando scelta.

In maniera più schematica:

Chiamiamo P₁ l’evento {scelta iniziale sbagliata}, poiché dietro 2 porte su 3 si trova la capra, la probabilità che sbagli e che si verifichi  P₁ è pari ad 2/3

Chiamiamo V_c l’evento {Vincita se si cambia la scelta iniziale}.

Come abbiamo spiegato sopra V_c  si realizza se e solo se si è verificato P₁, quindi:

P(V_c) = P(P₁) = 2/3.

Se si vuole utilizzare un metodo più formale, si può ricorrere al concetto di probabilità condizionata ed in particolare alla legge delle alternative, vediamo come:

 

Indichiamo con V₁ l’evento {il concorrente ha scelto la porta giusta la prima volta}

Indichiamo con P₁ l’evento {il concorrente ha scelto la porta sbagliata la prima volta}

sappiamo che P(V₁ U P₁) = 1 e che V₁   e P₁ sono incompatibili

Indichiamo con V_c l’evento {il concorrente vince cambiando scelta}

Applichiamo la  legge delle alternative avremo:

P(V_c) = P(P₁) P(V_c/P₁)  + P(V₁) P(V_c/V₁) = 2/3  * 1 + 1/3 * 0 = 2/3

Se il concorrente cambia la propria scelta iniziale, la sua probabilità di vittoria aumenta.